Druckversion: Einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung (Stochastik)

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P(E) ist die mathematische Schreibweise für „Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E”. Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1 (entspricht 0% bis 100%).
Laplace-Formel: Liegt ein Ereignis E und der Ergebnisraum Ω vor, dann gilt $Formel-Code: P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$ , sofern alle Elementarereignisse die selbe Eintrittswahrscheinlichkeit haben (ist z. B. beim Würfelwurf der Fall).
Das Ereignis, das immer dann eintritt, wenn E nicht eintritt ist $Formel-Code: \overline{E}$ (Gegenereignis zu E). Es gilt $Formel-Code: P(E) = 1 - P(\overline{E})$ . Manchmal ist P( $Formel-Code: \overline{E}$ ) leichter zu berechnen als P(E).

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1. Einleitung

Zuvor wurden die Begriffe Zufallsexperiment, Elementarereignis und Ereignis beschrieben. Nun soll ein einfacher Weg erklärt werden, wie man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmt (funktioniert aber nicht für alle Zufallsexperimente).
Zunächst sollte man dazu wissen, dass die Wahrscheinlichkeit mathematisch mit „P” abgekürzt wird (probability) und immer zwischen 0 und 1 liegt (0 = 0% Wahrscheinlichkeit / tritt nie ein, 1 = 100% Wahrscheinlichkeit / tritt immer ein).

Beispiel: Stellen wir uns einen Münzwurf als Zufallsexperiment vor. Wir wollen nun die Wahrscheinlichkeiten dafür beschreiben, dass ein Wappen (Ereignis 1) oder eine Zahl (Ereignis 2) geworfen wird. Daher definieren wir die Ereignisse $Formel-Code: E_{Wappen}=\{Wappen\}$ und $Formel-Code: E_{Zahl}={Zahl}$ (und setzen als bekannt voraus, dass jede Seite in 50% aller Fälle geworfen wird).
Es gilt nun:
$Formel-Code: P(E_{Wappen}) = 0,5$ und $Formel-Code: P(E_{Zahl}) = 0,5$ .

2. Laplace-Wahrscheinlichkeit

Wie kommt man aber nun auf 0,5 bzw. 50% für jede der Münzseiten? Genau dafür wird die sogenannte Laplace-Wahrscheinlichkeit verwendet (wird auch als klassische Definition der Wahrscheinlichkeit oder als Laplace-Formel bezeichnet). Sie stammt von Pierre Simon Laplace, einem der Pioniere der Wahrscheinlichkeitstheorie. Für ein Ereignis E lautete die Definition:
$Formel-Code: P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}$
Wir erinnern uns: Ω ist der Ergebnisraum, also die Menge aller möglichen Elementarereignisse. |X| wiederum gibt die Anzahl aller Elemente in der Menge X wieder (z. B. ergibt |Ω| die Anzahl aller möglichen Elementarereignisse und |E| die Anzahl aller Elementarereignisse im Ereignis E).
Vereinfacht ausgedrückt lautet die Formel daher:
$Formel-Code: \frac{Anzahl \hspace{5} aller \hspace{5} Elementarereignisse \hspace{5} in \hspace{5} Ereignis \hspace{5} E}{Anzahl \hspace{5} aller \hspace{5} Elementarereignisse}$

Beispiel 1: Beim Münzwurf gibt es zwei Elementarereignisse: Wappen und Zahl. Der Ergebnisraum Ω lautet daher {Wappen, Zahl} und |Ω| ist 2. Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeiten für die zuvor erwähnten Ereignisse $Formel-Code: E_{Wappen}$ und $Formel-Code: P(E_{Zahl}) = E_{Zahl}$ (welche jeweils nur ein Elementarereignis, nämlich Wappen oder Zahl enthalten), dann gilt:
$Formel-Code: P(E_{Wappen}) = \frac{|E_{Wappen}|}{|\Omega|} = \frac{1}{2}$ und $Formel-Code: \frac{|E_{Zahl}|}{|\Omega|} = \frac{1}{2}$

Beispiel 2: Beim Würfelwurf gibt es insgesamt 6 Elementarereignisse. Daher gilt für Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} und |Ω| = 6. Definieren wir nun das Ereignis E, dass eine 6 gewürfelt wird (E = {6}), dann gilt:
$Formel-Code: P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|} = \frac{1}{6}$ .

Beispiel 3: Das Ereignis für das die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden soll darf auch mehr als ein Elementarereignis enthalten. So können wir für den Würfelwurf definieren $Formel-Code: E_{gerade} = \{2, 4, 6\}$ (das Ereignis, dass eine gerade Augenzahl gewürfelt wird). Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis errechnet sich dann wie folgt:
$Formel-Code: P(E_{gerade}) = \frac{|E_{gerade}|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

2.1. Wann die Laplace-Formel nicht gilt

Beim Münz- und Würfelwurf funktioniert die Anwendung der Laplace-Formel prima. Bei vielen anderen Zufallsexperimenten allerdings nicht. Sie kann nur dann angewendet werden, wenn alle Elementarereignisse die selbe Eintrittswahrscheinlichkeit haben. Bei der Münze und beim Würfel ist das gegeben: Per Zufall erscheint eine der Seiten und keine hat eine höhere Wahrscheinlichkeit als irgendeine andere Seite. Bereits bei einem gezinkten Würfel, der z. B. in 50% aller Fälle eine 6 ergibt und in 50% aller Fälle eine Augenzahl zwischen 1 und 5 versagt die Laplace-Formel.
Wieso kann die Formel nun nicht auf solche Zufallsexperimente angewendet werden? Das liegt daran, dass in der Formel nur die Anzahlen eine Rolle spielen: Die Anzahl aller gesuchten Elementarereignisse wird durch die Anzahl aller möglichen Elementarereignisse geteilt. Verwendet man nur die Anzahlswerte, dann setzt man voraus, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Elementarereignisses gleich ist — andernfalls müssten auch die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse in der Formel auftauchen.

Die Laplace-Formel darf nur dann verwendet werden, wenn jedes Elementarereignis die selbe Eintrittswahrscheinlichkeit hat (siehe z. B. Würfel oder Münzwurf).

3. Gegenereignis

Wir haben zuvor immer nur die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Genauso kann auch berechnet werden wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Gegenteil passiert: das sogenannte Gegenereignis. Es wird mit einem horizontalen Strich gekennzeichnet, z. B. ist $Formel-Code: \overline{E}$ das Gegenereignis zu E.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis eintritt ist immer $Formel-Code: P(\overline{E}) = 1 - P(E)$ . Z. B. gilt für den Münzwurf $Formel-Code: P(\overline{E_{Wappen}}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (was genau der Wahrscheinlichkeit entspricht, dass eine Zahl geworfen wird). Das Gegenereignis ist manchmal einfacher zu berechnen als das eigentlich gesuchte Ereignis — das sollte man sich bei Aufgaben zunutze machen und über den Umweg des Gegenereignisses das eigentliche Ergebnis errechnen.

Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Würfelwurf eine Augenzahl größer als 1 gewürfelt wird?
Wir definieren $Formel-Code: E_{\geq 2} = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ . Daher gilt auch $Formel-Code: \overline{E_{\geq 2}} = \{1\}$ .
Wir rechnen:
$Formel-Code: P(E_{\geq 2}) = 1 - P(\overline{E_{\geq 2}}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$
Bei diesem vergleichsweise einfachen Beispiel wäre es vermutlich genauso schnell gegangen, die Wahrscheinlichkeit auf normalem Weg auszurechnen. Später gibt es aber Aufgabenstellungen, bei denen die Berechnungen schnell sehr kompliziert werden, sodass jedes Elementarereignis, das beim Rechnen nicht beachtet werden muss, einem viel Zeit einspart.

4. Grundsätzliche Regeln

Es gibt noch einige Regeln für die Wahrscheinlichkeitsrechnung, die sich letztlich aus dem ableiten, was zuvor beschrieben wurde. (Stehen hier eher der Vollständigkeit halber.)

$Formel-Code: 0 \leq P(E) \leq 1$ : Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P(E) liegt immer zwischen 0 und 1 (entspricht 0% bis 100% Wahrscheinlichkeit).
$Formel-Code: P(E = \Omega) = 1$ : Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses beträgt 1. Das sichere Ereignis tritt also immer ein. (Anders formuliert: Die Wahrscheinlichkeit, irgendeines der möglichen Elementarereignisse zu erhalten beträgt 1.)
$Formel-Code: P(\{\hspace{1}\}) = 0$ : Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses beträgt 0 (man erhält immer mindestens ein Elementarereignis). Statt P({}) kann auch P(∅) geschrieben werden.

5. Quiz

Welcher Buchstabe repräsentiert gewöhnlich die Wahrscheinlichkeit?

X (z. B. X(E))

W (z. B. W(E))

A (z. B. A(E))

P (z. B. P(E))

#6954

Zwischen welchen exakten Werten darf eine berechnete Wahrscheinlichkeit gewöhnlich liegen?

-100 bis 100

0 bis 100

1 bis 100

0 bis 1

#6955

Angenommen man hat ein Ereignis E das aus mehreren Elementarereignissen besteht und den Ereignisraum Ω. Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E unter Verwendung der Laplace-Formel?

|E|+|Ω|+1

|1 - (|E| geteilt durch |Ω|)

|Ω| geteilt durch |E

|E| geteilt durch |Ω|

#6956

Angenommen man hat zu einem Würfelwurf die Ereignisse E1 = {1, 2} und E2 = {3, 4, 5, 6}. Wie kann E2 dann auch bezeichnet werden?

Polarisationsereignis zu E1

Normalenreignis zu E1

Spiegelereignis zu E1

Gegenreignis zu E1

#6957

Wie berechnet sich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zum Ereignis E?

(P(E))2 - 1

-1 + P(E)

1 + P(E)

1 - P(E)

#6958

6. Links

Laplace-Formel: Wikipedia, Brinkmann, OberPrima (Video)
Gegenereignis

Einfache Wahrscheinlichkeitsrechnung (Thema: Stochastik)

Einfache Einführung in die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Vorgestellt wird die Laplace-Formel (bzw. Laplace-Wahrscheinlichkeit), das Gegenereignis sowie diverse Gesetze, die für Wahrscheinlichkeiten gelten.