1. Einleitung
Der Sattelpunkt ist eine Sonderform des Wendepunktes. Er zeichnet sich dadurch aus, dass der Graph beim Sattelpunkt augenscheinlich parallel zur x-Achse verläuft. Es bildet sich also sozusagen eine Treppenstufe.
Hier mal ein bildlicher Vergleich zwischen Wendepunkt (zuerst) und Sattelpunkt (danach):
Wendepunkt:
Sattelpunkt:
Sattelpunkt:
2. Sattelpunkt finden
Der Sattelpunkt errechnet sich nahezu genauso wie ein normaler Wendepunkt. Daher sollte man auch zuerst nach den Wendepunkten suchen und falls es diese gibt, kann man noch überprüfen, ob die gefundenen Wendepunkte vielleicht auch Sattelpunkte sind.
Die Sattelpunkte haben die Eigenschaft, dass am Sattelpunkt für kurze Zeit die Steigung 0 herrscht - ansonsten ist alles genauso wie bei Wendepunkten. Die Bedingungen für einen Sattelpunkt sind also:
- f ' (x) = 0
- f '' (x) = 0
- f ''' (x)
0
Beispiel:
Verwendet wird als die selbe Funktion, die auch oben im Bild für den Sattelpunkt zu sehen ist.
Jetzt wird erstmal nach Wendepunkten gesucht.
Für diese muss gelten f '' (x) gleich 0 und f ''' (x) ungleich 0.
Also nur die beiden letzten Bedingungen des Sattelpunktes.
Ein Wendepunkt liegt also bei x=0.
Jetzt wird noch geprüft, ob dieser Wendepunkt vielleicht ein Sattelpunkt ist.
Dazu wird der x-Wert (also 0) in die 1. Ableitung eingesetzt (f ' (x)).
Ist das Ergebnis gleich Null, dann ist dieser Punkt ein Sattelpunkt, ansonsten nur ein ganz normaler Wendepunkt.
Die erste Ableitung ist also für diesen Wendepunkt 0.
Damit sind alle drei Bedingungen eines Sattelpunktes erfüllt - der Punkt ist ein Sattelpunkt.
Nun rechnet man noch schnell die zugehörige y-Koordinate zur x-Koordinate aus, damit man den Punkt genau im Koordinatensystem bestimmen kann:
Der Sattelpunkt liegt also bei (0 | 1).
Jetzt wird erstmal nach Wendepunkten gesucht.
Für diese muss gelten f '' (x) gleich 0 und f ''' (x) ungleich 0.
Also nur die beiden letzten Bedingungen des Sattelpunktes.
Ein Wendepunkt liegt also bei x=0.
Jetzt wird noch geprüft, ob dieser Wendepunkt vielleicht ein Sattelpunkt ist.
Dazu wird der x-Wert (also 0) in die 1. Ableitung eingesetzt (f ' (x)).
Ist das Ergebnis gleich Null, dann ist dieser Punkt ein Sattelpunkt, ansonsten nur ein ganz normaler Wendepunkt.
Die erste Ableitung ist also für diesen Wendepunkt 0.
Damit sind alle drei Bedingungen eines Sattelpunktes erfüllt - der Punkt ist ein Sattelpunkt.
Nun rechnet man noch schnell die zugehörige y-Koordinate zur x-Koordinate aus, damit man den Punkt genau im Koordinatensystem bestimmen kann:
Der Sattelpunkt liegt also bei (0 | 1).