Darstellung (Thema: Vektorrechnung)

Wie man vektorielle Geraden bildet

1. Einleitung


Man kann Geraden auch mit Hilfe von Vektoren darstellen. Dazu zerlegt man die Geraden zunächst in zwei Teile:

  • Ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Dieser Punkt dient dazu, die Position der Geraden im Raum zu bestimmen. Von hier aus wird die weitere Ausrichtung festgelegt.

    Der Vektor, der auf diesen Punkt zeigt, wird als "Stützvektor" bezeichnet.
  • Ein weiterer Vektor, der vom festgelegten Punkt aus die Richtung der Geraden beschreibt.

    Dieser Vektor ist der sogenannte "Richtungsvektor".
Bringt man nun diese beiden Vektoren - den Stützvektor und den Richtungsvektor zusammen, so hat man einen Vektor, der auf einen Punkt der Geraden zeigt und einen, der von dort aus die Richtung angibt. Damit ist die Gerade eindeutig bestimmt.



Um nun jeden beliebigen Punkt auf der Geraden darstellen zu können, setzt man eine Variable (z.B. Lambda: lambda) vor den Richtungsvektor und kann dadurch dessen Länge verändern.

Mit Stützvektor+100*Richtungsvektor zeigt man logischerweise auf einen anderen Punkt, als wenn man Stützvektor+(-2)*Richtungsvektor rechnet.




2. Darstellung





Allgemein:

vektor s ist ein Stützvektor

vektor r ist ein Richtungsvektor

lambda ist eine Variable, die die Länge des Richtungsvektors verändert.



g: vektor x=vektor s+lambda*vektor r




Hier kann man erkennen, dass sich der Ortsvektor zu Punkt x (vektor x=(x1_x2_..._xn)) auf der Geraden ergibt, indem man auf einen Punkt auf der Geraden zeigt (Stützvektor vektor s) und von dort aus eine bestimmte Strecke in eine bestimmte Richtung zurücklegt (Richtungsvektor vektor r). Will man keinen Punkt auf der Geraden festlegen, sondern stattdessen die gesamte Gerade über eine Formel darstellen, so setzt man einfach keinen Wert für lambda ein.



Beispiel: g: vektor x=(10_20_30) + lambda*(6_7_8)



Beispiel: g: vektor x=(19_127_11) + lambda*(23_60_71)



Beispiel: g: vektor x=(0_1_0) + lambda*(1_1_1)



Beispiel: g: vektor x=(1_2) + lambda*(3_4)



Beispiel: g: vektor x=lambda*(10_11)




Die Gerade des letzten Beispiels ginge durch den Nullpunkt, da kein Stützvektor angegeben bzw. dieser vektor s=(0_0) lautet.





3. Links





Ein kleines Video dazu wie man eine Gerade in der Vektorrechnung bildet: Video

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