Darstellung (Thema: Vektorrechnung)

Wie man vektorielle Geraden bildet

1. Einleitung


Man kann Geraden auch mit Hilfe von Vektoren darstellen. Dazu zerlegt man die Geraden zunächst in zwei Teile:

  • Ein beliebiger Punkt auf der Geraden. Dieser Punkt dient dazu, die Position der Geraden im Raum zu bestimmen. Von hier aus wird die weitere Ausrichtung festgelegt.

    Der Vektor, der auf diesen Punkt zeigt, wird als "Stützvektor" bezeichnet.
  • Ein weiterer Vektor, der vom festgelegten Punkt aus die Richtung der Geraden beschreibt.

    Dieser Vektor ist der sogenannte "Richtungsvektor".
Bringt man nun diese beiden Vektoren - den Stützvektor und den Richtungsvektor zusammen, so hat man einen Vektor, der auf einen Punkt der Geraden zeigt und einen, der von dort aus die Richtung angibt. Damit ist die Gerade eindeutig bestimmt.



Um nun jeden beliebigen Punkt auf der Geraden darstellen zu können, setzt man eine Variable (z.B. Lambda: lambda) vor den Richtungsvektor und kann dadurch dessen Länge verändern.

Mit Stützvektor+100*Richtungsvektor zeigt man logischerweise auf einen anderen Punkt, als wenn man Stützvektor+(-2)*Richtungsvektor rechnet.




2. Darstellung





Allgemein:

vektor s ist ein Stützvektor

vektor r ist ein Richtungsvektor

lambda ist eine Variable, die die Länge des Richtungsvektors verändert.



g: vektor x=vektor s+lambda*vektor r




Hier kann man erkennen, dass sich der Ortsvektor zu Punkt x (vektor x=(x1_x2_..._xn)) auf der Geraden ergibt, indem man auf einen Punkt auf der Geraden zeigt (Stützvektor vektor s) und von dort aus eine bestimmte Strecke in eine bestimmte Richtung zurücklegt (Richtungsvektor vektor r). Will man keinen Punkt auf der Geraden festlegen, sondern stattdessen die gesamte Gerade über eine Formel darstellen, so setzt man einfach keinen Wert für lambda ein.



Beispiel: g: vektor x=(10_20_30) + lambda*(6_7_8)



Beispiel: g: vektor x=(19_127_11) + lambda*(23_60_71)



Beispiel: g: vektor x=(0_1_0) + lambda*(1_1_1)



Beispiel: g: vektor x=(1_2) + lambda*(3_4)



Beispiel: g: vektor x=lambda*(10_11)




Die Gerade des letzten Beispiels ginge durch den Nullpunkt, da kein Stützvektor angegeben bzw. dieser vektor s=(0_0) lautet.





3. Links





Ein kleines Video dazu wie man eine Gerade in der Vektorrechnung bildet: Video

Kommentare (9)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
Hallöchen,

evtl. wäre es noch gut mit einzubauen, dass diese Variante (Gleichung) auch Parameterform genannt wird. (Zwecks Aufgabenstellung).
Hinweisgeber (Gast) #
Lambda steht für eine beliebige Zahl.
ArnoNuehm (Gast) #
Ich finde diese Seite gibt einen hervorragenden Überblick. Leider ist der Link zum Video defekt.
Marcus (Gast) #
so schön einfach erklärt, in 2 min. kapiert , coole seite
speedo (Gast) #
das video is super
hippo (Gast) #
Wäre vielleichet nicht schlecht anzumerken, dass diese Form mit Außnahme Ihrer beiden letzten Beispiele im Allgemeinen nicht auf die x+y+D=0 -Form übertragen werden kann. (+der Grund hierfür)
Sona (Gast) #
steht ja überall was andres in jedem Buch is doch Jacke wie Hose
Sash (Gast) #
Hm...

Arno, interessant.





Is doch schnurzwumpe was da steht.
Wayne (Gast) #
die Seite ist super. nur warum muss man immer sowas wie dieses "lambda" reinbringen? in den Büchern wird die Variable einfach "t" genannt, man kommt nur durcheinander wenn überall was anderes steht...
ArnoNuehm (Gast) #
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