@ bozkurt: Ja, das ist die HNF (ich nehme mal an, dass das erste "*" ein Skalarprodukt ist) Du hast die HNF in vektorieller Darstellung. Wenn du diese Form ausmultiplizierst, dann kommt folgende Form (Koordinatendarstellung) raus:
(n1x1 + n2x2 + n3x3 + d) / (Betrag des Normalenvektor) = 0
Die HNF ist nun so definiert, dass der Normalenvektor in die Richtung der Ebene zeigt, in der der Ursprung NICHT liegt (Das ist sowohl in vektorieller, als auch in Koordinatendarstellung der Fall).
Deshalb multipliziert man den ganzen Term mit -1, falls d > 0. (Diesen Schritt kann man sich mit Hilfe des Winkels zwischen dem Normalenvektor und dem Ortsvektor eines beliebigen Pktes auf der Ebenen herleiten - Diese Vektoren müssen nämlich einen spitzen Winkel einschließen, damit oben genannte Forderung erfüllt ist.)
Die Beschreibung von oben geht schon einen Schritt weiter. Es wird nicht mehr die HNF dargestellt, sondern eine "Formel zur Berechnung von Abstandsproblemen". Das ist zwar eine Anwendung der HNF, aber keine Ebenengleichung mehr!
Deshalb meine Bitte an den Autor dieser Seite: Die Seite finde ich ziemlich gut und anschaulich, aber in diesem Fall wurde das Thema etwas zu stark vereinfacht. Also bitte entweder den Titel in "Abstandsproblem Ebene - Punkt" ändern oder doch noch mal die Formelsammlung zur Hand nehmen und die beschriebenen Unsauberkeiten im Artikel ausbessern!
(n1x1 + n2x2 + n3x3 + d) / (Betrag des Normalenvektor) = 0
Die HNF ist nun so definiert, dass der Normalenvektor in die Richtung der Ebene zeigt, in der der Ursprung NICHT liegt (Das ist sowohl in vektorieller, als auch in Koordinatendarstellung der Fall).
Deshalb multipliziert man den ganzen Term mit -1, falls d > 0. (Diesen Schritt kann man sich mit Hilfe des Winkels zwischen dem Normalenvektor und dem Ortsvektor eines beliebigen Pktes auf der Ebenen herleiten - Diese Vektoren müssen nämlich einen spitzen Winkel einschließen, damit oben genannte Forderung erfüllt ist.)
Die Beschreibung von oben geht schon einen Schritt weiter. Es wird nicht mehr die HNF dargestellt, sondern eine "Formel zur Berechnung von Abstandsproblemen". Das ist zwar eine Anwendung der HNF, aber keine Ebenengleichung mehr!
Deshalb meine Bitte an den Autor dieser Seite: Die Seite finde ich ziemlich gut und anschaulich, aber in diesem Fall wurde das Thema etwas zu stark vereinfacht. Also bitte entweder den Titel in "Abstandsproblem Ebene - Punkt" ändern oder doch noch mal die Formelsammlung zur Hand nehmen und die beschriebenen Unsauberkeiten im Artikel ausbessern!