Hessesche Normalenform (HNF)

Wie man die HNF einer Ebene bildet und wozu sie gut ist

Inhaltsverzeichnis

  1. 1. Einleitung
  2. 2. HNF bilden

1. Einleitung





Die Hessesche Normalenform wird mit HNF abgekürzt. Sie ist nahezu identisch zur Koordinatenform. Die HNF wird ausschließlich bei der Berechnung von Abständen verwendet. Setzt man einen Punkt in die Gleichung der HNF ein, dann erhält man den Abstand dieses Punktes zur Ebene.




2. HNF bilden





Die HNF wird auf einfache Weise gebildet. Vorausgesetzt ist aber, dass bereits eine Ebene in Koordinatenform gegeben ist. Eine Ebene in Hessescher Normalenform sieht in der allgemeinen Schreibweise wie folgt aus:



HNF: |(n1x1+n2x2+n3x3-d)/(wurzel(n1^2+n2^2+n3^2))|=a



Zum Vergleich eine Ebene in Koordinatenform:



E: n1x1+n2x2+n3x3=d




Wie leicht zu erkennen ist, wurde "d" auf die linke Seite der Gleichung gezogen. Außerdem wird die gesamte Gleichung (n1x1 + n2x2 + n3x3 - d) durch die Länge des Normalenvektors der Ebene geteilt. Das Ganze wird dann in Betragsstriche gesetzt, denn ein Abstand (der von der Gleichung angegeben wird) kann logischerweise nicht kleiner als 0 sein. Die Gleichung ergibt dann die Variable "a", die gleich mit dem Abstand ist. Man kann diese Variable natürlich auch d oder anders nennen.



Der ganze Vorgang nochmal in einzelnen Schritten:



1. Gegeben ist eine Ebene in Koordinatenform:


E: n1x1+n2x2+n3x3=d




2. d rüberbringen:


n1x1+n2x2+n3x3-d




3. durch die Länge des Normalenvektors teilen:


(n1x1+n2x2+n3x3-d)/(wurzel(n1^2+n2^2+n3^2))




4. Betragsstriche setzen, "= a" setzen und "HNF:" davor:


HNF: |(n1x1+n2x2+n3x3-d)/(wurzel(n1^2+n2^2+n3^2))|=a






Beispiel:



Ebene in Koordinatenform und zugehörige HNF:


E: 6x1+7x2+8x3=100, HNF: |(6x1+7x2+8x3-100)/(wurzel(6^2+7^2+8^2))|=a



(Gewöhnlich sollte man die Länge des Normalenvektors ausmultiplizieren.

Zur besseren Übersichtlichkeit wurde das hier nicht getan.)
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