Die Aussage, dass die Ableitung bei einer streng monoton steigenden Funktion nicht null werden darf, ist falsch!
Der Graph zu f:x --> x^3 besitzt zwar an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente, also die Ableitung 0, ist aber streng monoton steigend, da er das folgende Kriterium erfüllt:
Vergleicht man zwei Stellen x1 und x2, wobei x2 > x1 gelten soll, so muss bei einer streng monoton steigenden Funktion der Funktionswert f(x2) echt größer sein als der Funktionswert f(x1), das heißt f(x1) < f(x2).
Fällt das Kriterium streng weg, so genügt ein kleiner oder gleich zwischen den beiden Funktionswerten.
Ein Extrembeispiel: Die Funktion f: x --> 2, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist, kann demnach als monoton steigende Funktion betrachtet werden, da jeder Funktionswert zu einer Stelle x2, die weiter rechts liegt als ein beliebige Stelle x1, zwar nicht größer ist als f(x1), aber zumindest gleich.
Mit einer analogen Argumentation könnte man übrigens zeigen, dass die Funktion f:x --> 2 monoton fallend ist.
Der Graph zu f:x --> x^3 besitzt zwar an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente, also die Ableitung 0, ist aber streng monoton steigend, da er das folgende Kriterium erfüllt:
Vergleicht man zwei Stellen x1 und x2, wobei x2 > x1 gelten soll, so muss bei einer streng monoton steigenden Funktion der Funktionswert f(x2) echt größer sein als der Funktionswert f(x1), das heißt f(x1) < f(x2).
Fällt das Kriterium streng weg, so genügt ein kleiner oder gleich zwischen den beiden Funktionswerten.
Ein Extrembeispiel: Die Funktion f: x --> 2, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist, kann demnach als monoton steigende Funktion betrachtet werden, da jeder Funktionswert zu einer Stelle x2, die weiter rechts liegt als ein beliebige Stelle x1, zwar nicht größer ist als f(x1), aber zumindest gleich.
Mit einer analogen Argumentation könnte man übrigens zeigen, dass die Funktion f:x --> 2 monoton fallend ist.