1. Einleitung
Um den Verlauf eines Graphen besser in Worte fassen zu können gibt es die Regeln rund um die "Monotonie". Das Thema macht von seiner Spannung her zwar seinem Namen alle Ehre, ist aber zum Glück reichlich einfach und kommt im Grunde ohne Rechnungen aus.
Man unterscheidet bei Graphen im wesentlichen zwischen zwei Verläufen (zumindest im Bereich der Monotonie):
- fallend
- steigend
Es werden weiterhin die Begriffe "monoton" und "streng monoton" verwendet. Wie diese bereits andeuten, fällt oder steigt ein "streng monotoner" Graph gleichmäßiger als ein Graph, der nur "monoton" ist.
2. monoton steigend/fallend
Ein Graph ist per Definition immer dann monoton steigend, wenn seine Ableitung nicht negativ wird. Setzt man also in die Funktion eines Graphen einen x-Wert
(Beispiel) monoton steigend: 1, 2, 5, 7, 7, 7, 9, 15, 15, 16...
(Beispiel) monoton fallend: 100, 98, 67, 67, 44, 32, 11, 9...
Genauso wie bei streng monoton steigend/fallend gilt auch hier, dass "monoton steigend/fallend" nicht zwangsweise für den ganzen Graphen gelten muss. Man kann auch sagen: von x=2 bis x=15 ist er der Graph monoton steigend. Für x>15 ist er monoton fallend, oder ähnliches.
3. streng monoton fallend/steigend
"Streng monoton fallend/steigend" ist nahezu das gleiche wie "monoton fallend/steigend". In diesem Fall dürfen aber zwei aufeinanderfolgende Werte nicht gleich sein. Der Graph muss also absolut konstant steigend bzw. seine Ableitung darf nie kleiner oder gleich Null sein.
(Beispiel) streng monoton steigend: 1,2,3,4,5,6,7,8 oder auch 1, 5, 18, 19, 100, 1172, 1199...
(Beispiel) streng monoton fallend: 17, 16, 15, 2, -1, -2, -8...
Auch hier gilt, dass auch einzelne Teile eines Graphen streng monoton steigend/fallend sein können. Z.B. von x=5 bis x=17 oder ähnliches.
4. Anwendung und Finden von Monotonie
Am einfachsten kann man sich ein Bild von der Monotonie machen indem man eine kurze Skizze der Funktion anfertigt. Dann hat man schnell einen Eindruck davon gewonnen, wie der Graph verläuft.
Für das genaue rechnerische Vorgehen benötigt man aber trotzdem die Ableitung der Funktion. Diese muss man zunächst gleich Null setzen. Danach muss man überprüfen, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Dadurch erfährt man, ob die Steigung von positiv zu negativ oder umgekehrt wechselt, also ob der Graph ab einem Punkt nicht mehr steigt, sondern fällt (bzw. umgekehrt). Findet kein Vorzeichenwechsel statt, dann liegt nur eine monotone Steigung bzw. ein monotones Fallen vor.
Wie man mitunter leicht erkennen kann, ist das Vorgehen nahezu identisch mit dem Suchen nach Hoch- und Tiefpunkten. Das ist ja auch logisch: Ein Graph steigt/fällt immer monoton oder streng monoton bis er auf einen Hochpunkt/Tiefpunkt trifft. Dann wechselt er von steigen auf fallen oder umgekehrt.
Also: Immer nach Hochpunkten/Tiefpunkten suchen, Skizze anfertigen und der Rest ist Logik. Liegt ein Sattelpunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist).
Kommentare (11)
Von neu nach altWir bitten um ihr Verständnis.
Ansonsten: Super Seite! *alle verfügbaren Daumen reck*
Der Graph zu f:x --> x^3 besitzt zwar an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente, also die Ableitung 0, ist aber streng monoton steigend, da er das folgende Kriterium erfüllt:
Vergleicht man zwei Stellen x1 und x2, wobei x2 > x1 gelten soll, so muss bei einer streng monoton steigenden Funktion der Funktionswert f(x2) echt größer sein als der Funktionswert f(x1), das heißt f(x1) < f(x2).
Fällt das Kriterium streng weg, so genügt ein kleiner oder gleich zwischen den beiden Funktionswerten.
Ein Extrembeispiel: Die Funktion f: x --> 2, deren Graph eine Parallele zur x-Achse ist, kann demnach als monoton steigende Funktion betrachtet werden, da jeder Funktionswert zu einer Stelle x2, die weiter rechts liegt als ein beliebige Stelle x1, zwar nicht größer ist als f(x1), aber zumindest gleich.
Mit einer analogen Argumentation könnte man übrigens zeigen, dass die Funktion f:x --> 2 monoton fallend ist.
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"Liegt ein Wendepunkt in einer streng monotonen Phase vor, dann ist diese nicht mehr "streng monoton" sondern nur noch "monoton" steigend/fallend (da an dieser Stelle die Steigung gleich 0 ist)."
Die Steigung ist doch nur bei der Sonderform des Wendepunkts - dem Sattelpunkt - gleich Null, oder?
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Das ist vollkommen egal. Selbst bei einem Sattelpunkt ist die Funktion STRENG monoton steigend (bzw. fallend), denn (wenn wir vom beispiel steigend ausgehen) ist links des sattelpunktes der y-wert kleiner und rechts des sattelpunkts der y-wert größer als an dem y-punkt des sattelpunkts. da die ableitung, bzw. steigung NUR IN EINEM punkt = Null ist, ist die funktion STRENG monoton steigend. nur wenn an mehreren punkten nebeneinader die ableitung = Null wäre, dann wär sie "nur" monoton steigend.
d.h. die funktion f(x)=x^3 z.B. ist ebenfalls streng monoton steigend, und dass im ganzen Defintionsbereich!
das ist auch der grund warum man bei der angabe der monotonie die zeichen <= bzw. >= verwendet und nicht nur < bzw. > ....
--> Beispiel: x^2 ist im Bereich {x<=0} streng monoton fallend und im Bereich {x>=0} streng monoton steigend!
0 kommt hier in Bereichen vor, dass muss aber so sein!
wirklich schöne seite, hat mir schon einiges gebracht.
Vieleicht kann man hier auch nochmal eine Beispielaufgabe vorführen, da mir die ganze Vorgehensweise, insbesondere was den Vorzeichenwechsel angeht, schwerfällt.
Vielen Dank im Vorraus
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