Baumdiagramm (Thema: Stochastik)

In diesem Artikel wird das Baumdiagramm und dessen Nutzung zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten vorgestellt. Ebenfalls erläutert werden die erste und zweite Pfadregel, sowie der Begriff "mehrstufiges Zufallsexperiment".

Schnellübersicht
  • Mehrstufiges Zufallsexperiment: Es werden mehrere (i. d. R. unterschiedliche) Vorgänge nacheinander ausgeführt (statt nur einer, welcher immer wieder wiederholt wird).
  • Mehrstufige Zufallsexperimente können mittels Baumdiagramm abgebildet werden (Knoten=Elementarereignisse, Kanten führen zu gültigem nächsten Elementarereignis).
  • 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines gesamten Pfades ergibt sich, indem die Wahrscheinlichkeiten aller Abschnitte des Pfades miteinander multipliziert werden.
  • 2. Pfadregel: P(E) = P(e1)+P(e2), wenn das Ereignis E die Elementarereignisse e1 und e2 enthält. (Hier sind die Elementarereignisse des gesamten mehrstufigen Zufallsexperiments gemeint, nicht eines einzelnen Vorgangs.)

1. Einleitung


Bisher wurden Zufallsexperimente stets als ein einzelner Vorgang dargestellt, der beliebig oft wiederholt werden kann (z. B. ein Münzwurf, der mehrmals hintereinander ausgeführt wird). Es ist aber auch möglich, mehrere Vorgänge in einem Zufallsexperiment nacheinander durchzuführen. Man spricht dann von einem mehrstufigen Zufallsexperiment. Ein derartiges mehrstufiges Zufallsexperiment lässt sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dieses besteht aus einem „Startpunkt” von welchem „Zweige” zu weiteren Punkten abgehen. Jeder Punkt repräsentiert ein mögliches Elementarereignis eines Vorgangs. An die „Zweige” werden die Wahrscheinlichkeiten des jeweiligen Elementarereignisses geschrieben.

2. Beispiel 1

Man wirft erst eine Münze und anschließend einen Würfel. Die Elementarereignisse könnten dann z. B. lauten {Wappen, 1}, {Wappen, 2}, ..., {Zahl, 1}, ..., {Zahl, 6}. Das Baumdiagramm für dieses mehrstufige Zufallsexperiment könnte nun wie folgt aussehen:

Baumdiagramm für mehrstufiges Zufallsexperiment mit Münz- und anschließendem Würfelwurf

Die Wahrscheinlichkeiten werden an die Kanten geschrieben (hier 1/2 beim Münzwurf und 1/6 beim Würfelwurf). Am Ende stehen die Elementarereignisse des gesamten mehrstufigen Zufallsexperiments.

3. Beispiel 2

Urne mit zwei roten und einer blauen Kugel
Bei der Verknüpfung von Münz- und Würfelwurf ist das Baumdiagramm noch nicht allzu nützlich, da sich die Wahrscheinlichkeiten nicht mit jedem Schritt verändern. Nachfolgend soll daher ein Beispiel gebildet werden, bei dem die Wahrscheinlichkeiten des zweiten Vorgangs vom Ergebnis des ersten Vorgangs abhängen. Wir stellen uns dazu eine Urne vor, in welcher sich insgesamt drei Kugeln befinden. Zwei davon sind rot, eine ist blau. Wir werden verdeckt aus dieser Urne nacheinander zwei Kugeln ziehen, sodass das Ergebnis jedes einzelnen Zugs vom Zufalls abhängt.

Wir können nun folgendes Baumdiagramm bilden:
Das Baumdiagramm zum zuvor genannten Urnenmodell
Wie darin zu erkennen ist, kann beim ersten Zug entweder eine rote oder eine blaue Kugel gezogen werden. Es gibt zwei rote Kugeln und insgesamt drei, daher ist P(Erot) = 2/3. Wurde nun im ersten Zug eine blaue Kugel gezogen, dann gibt es nur noch (zwei) rote Kugeln und die Wahrscheinlichkeit eine rote zu ziehen steigt auf 1. Wurde hingegen im ersten Zug eine rote Kugel gezogen, dann gibt es anschließend exakt eine rote und eine blaue Kugel in der Urne. Beide haben entsprechend eine Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden von 0,5.

4. Pfadregeln


Das Baumdiagramm hilft nun nicht nur einfach bei der Darstellung des Problems, sondern auch bei der Berechnung. Es gelten folgende zwei Regeln:
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses des mehrstufigen Zufallsexperiments ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten des Pfades, der zu diesem Elementarereignis führt.
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe aller Elementarereignisse, die Teil des Ereignisses sind.
Wendet man auf das zweite Beispiel (Urne) die erste der beiden Pfadregeln an, dann ergibt sich für das Elementarereignis {blau, rot} eine Wahrscheinlichkeit von Formel-Code: \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} und für {rot, blau} der Wert Formel-Code: \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Definiert man nun das Ereignis Er={{blau, rot}, {rot, blau}} (exakt eine rote Kugel), dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit aus Formel-Code: P(E_r) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.

Kommentare (11)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
w (16) sucht einen netten russen, der gerne liebe gibt und kein arsch ist. bei interesse bitte bei mir melden <3
dajalina (Gast) #
aboniert mich xD
Jjeeeeoonnee (Gast) #
nice
TR (Gast) #
RICHTIG KRASSE SEITE !!!! IZZZZZZ DDDAAAAAA
dunudel (Gast) #
Eine sehr schöne Seite, die mir wieder mal zeigt, wie dumm ich bin, da ich leider nichts verstehe. YOLO Swag blahblahh ... Ich muss mal PI PI... Und bin soooo MÜde ....
kunterbuntemathematikichwillkriieg (Gast) #
Mathe ist schei*e
ArnoNuehm (Gast) #
ups, fixed
wichtl (Admin) #
Vielen dank für die detaillierte Erklärung, allerdings wurde "Buzz"s Verbesserung nicht angenommen. Es ist exakt 1 blaue Kugel und es gibt 2 rote Kugeln, oder nicht ? So jedenfalls steht es in der Einführung des Experiments :-).
Theo (Gast) #
Beim 2. Beispiel wird glaub ich einmal die Farbe vertauscht :P...du sagst, dass 2 von den 3 kugeln blau sind.
buzz (Gast) #
stimmt, hab es in „exakt eine rote Kugel” geändert
wichtl (Admin) #
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