Eines der zentralsten aber auch einfachsten Themen der Differentialrechnung ist das Finden von Nullstellen. Nullstellen sind alle Punkte, an denen der Graph einer Funktion die x-Achse berührt oder schneidet.
Damit ein Graph die x-Achse berührt/schneidet, muss der y-Wert bei Null liegen. Daher auch der Name "Nullstellen".
In den meisten Fällen ist es also denkbar einfach, die Nullstellen zu errechnen: Man muss einfach die Funktion mit 0 gleichsetzen.
Beispiel:
Damit sind die beiden Nullstellen (gerundet!) etwa N1 (-3|0) und N2 (3|0). Wie man oben im abgebildeten Graphen sehen kann, ist das auch richtig.
Wie bereits erwähnt, benötigt man bei der Berechnung der Nullstellen immer wieder die pq-Formel. Daher gibts die hier nochmal für alle, die sie bereits wieder vergessen haben:
Wiederholung
Die bisher dargestellte Vorgehensweise funktioniert recht einfach bei
(also x) und
. Sobald der Exponent aber größer wird, muss man in vielen Fällen die Polynomdivision anwenden.
Dabei muss man zunächst durch Probieren eine Nullstelle N finden. Danach teilt man die Funktion durch x + (-N). Dies führt man so lange fort, bis man
erhält - ab dann kann man mit der pq-Formel einfacher weitermachen.
Beispiel:
Einige Videos zum Thema mit Beispielen und weiteren Erklärungen:
Damit ein Graph die x-Achse berührt/schneidet, muss der y-Wert bei Null liegen. Daher auch der Name "Nullstellen".
In den meisten Fällen ist es also denkbar einfach, die Nullstellen zu errechnen: Man muss einfach die Funktion mit 0 gleichsetzen.
Beispiel:
Funktion: ![f(x)=x^2-10](http://www.rither.de/formel?f%28x%29%5Chspace2%3D%5Chspace2x%5E2%5Chspace2-%5Chspace210)
Diese Funktion ist übrigens die gleiche, die auch oben im Bild zu sehen ist.
Mit 0 gleichsetzen:
![0=x^2-10](http://www.rither.de/formel?0%5Chspace2%3D%5Chspace2x%5E2-10)
An dieser Stelle könnte man nun die PQ-Formel anwenden (muss man häufig bei der Berechnung von Nullstellen).
Es ist hier aber sichtlich einfacher, die 10 auf die andere Seite zu bringen und dann die Wurzel zu ziehen:
![10=x^2](http://www.rither.de/formel?10%5Chspace2%3D%5Chspace2x%5E2)
![wurzel(10)=x](http://www.rither.de/formel?%5Csqrt%7B10%7D%5Chspace2%3D%5Chspace2%2B%2F-%20x)
Diese Funktion ist übrigens die gleiche, die auch oben im Bild zu sehen ist.
Mit 0 gleichsetzen:
An dieser Stelle könnte man nun die PQ-Formel anwenden (muss man häufig bei der Berechnung von Nullstellen).
Es ist hier aber sichtlich einfacher, die 10 auf die andere Seite zu bringen und dann die Wurzel zu ziehen:
Damit sind die beiden Nullstellen (gerundet!) etwa N1 (-3|0) und N2 (3|0). Wie man oben im abgebildeten Graphen sehen kann, ist das auch richtig.
Wie bereits erwähnt, benötigt man bei der Berechnung der Nullstellen immer wieder die pq-Formel. Daher gibts die hier nochmal für alle, die sie bereits wieder vergessen haben:
Wiederholung
Auf eine gegebene Gleichung im Format
![x^2 + px + q](http://www.rither.de/formel?0%20%5Chspace2%3D%5Chspace2%20x%5E2%20%5Chspace2%2B%5Chspace2%20px%20%5Chspace2%2B%5Chspace2%20q)
... wird die pq-Formel angewendet:
![x1,2=-p/2 +/- wurzel((p/2)^2 - q)](http://www.rither.de/formel?x_%7B1%2F2%7D%5Chspace2%3D%5Chspace2-%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%5Chspace2%2B%2F-%5Chspace2%20%5Csqrt%7B%28%5Cfrac%7Bp%7D%7B2%7D%29%5E2%20%5Chspace2-%5Chspace2%20q%7D)
... wird die pq-Formel angewendet:
1. Nullstellenberechnung bei Polynomen
Die bisher dargestellte Vorgehensweise funktioniert recht einfach bei
Dabei muss man zunächst durch Probieren eine Nullstelle N finden. Danach teilt man die Funktion durch x + (-N). Dies führt man so lange fort, bis man
Beispiel:
Funktion: ![x^3+2x^2+1x-3](http://www.rither.de/formel?x%5E3%2B2x%5E2%2B1x-4)
erste Nullstelle (geraten): N1 = 1
Die Nullstelle N1 liegt also bei (1|0)
Nun wird durch x - 1 geteilt:
![Teilung... x^3+2x^2+1x-4 : x-1 = x^2+3x+4](http://www.rither.de/formel?%0Ax%5E3%20%5Chspace2%2B%5Chspace2%202x%5E2%20%5Chspace2%2B%5Chspace2%201x%20%5Chspace2-%5Chspace2%204%20%5Chspace4%3A%5Chspace4%20%28x%20%5Chspace2-%5Chspace2%201%29%20%5Chspace2%3D%5Chspace2%20x%5E2%20%2B%203x%20%2B%204%0A%5C%5C%5B5%5D%0A%20-%28%20x%5E3-x%5E2%20%29%20%0A%5C%5C%5B1%5D%20%5Chspace%7B15%7D%0A%5Cline%2866%29%0A%5C%5C%5B5%5D%20%5Chspace%7B40%7D%0A3x%5E2%2B1x%20%0A%5C%5C%5B5%5D%20%5Chspace%7B20%7D%0A-%28%203x%5E2-3x%20%29%20%0A%5C%5C%5B1%5D%20%5Chspace%7B35%7D%0A%5Cline%2866%29%0A%5C%5C%5B5%5D%20%5Chspace%7B60%7D%0A4x-4%20%0A%5C%5C%5B5%5D%20%5Chspace%7B40%7D%0A-%284x-4%29%0A%5C%5C%5B1%5D%20%5Chspace%7B55%7D%0A%5Cline%2866%29%0A%5C%5C%5B5%5D%20%5Chspace%7B100%7D%0A0%0A)
Die sich ergebende Funktion wird mit der pq-Formel bearbeitet:
![pq-Formel](http://www.rither.de/formel?x_%7B2%2F3%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B9%7D%7B4%7D%20-%204%7D)
![pq-Formel2](http://www.rither.de/formel?x_%7B2%2F3%7D%20%3D%20-%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%20%5Cpm%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B-7%7D%7B4%7D%7D)
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, daher kann die Wurzel nicht aufgehen und dementsprechend können x2 und x3 auchkeine Werte annehmen. Die Funktion hat also nur eine Nullstelle: N1 (1|0)
erste Nullstelle (geraten): N1 = 1
Die Nullstelle N1 liegt also bei (1|0)
Nun wird durch x - 1 geteilt:
Die sich ergebende Funktion wird mit der pq-Formel bearbeitet:
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl, daher kann die Wurzel nicht aufgehen und dementsprechend können x2 und x3 auchkeine Werte annehmen. Die Funktion hat also nur eine Nullstelle: N1 (1|0)
2. Links
Einige Videos zum Thema mit Beispielen und weiteren Erklärungen:
- Verschiedene Beispiele zur Nullstellenberechnung
- Nullstellen bei einer e-Funktion
- Nullstellenberechnung mit Hilfe des Zwischenwertsatzes.
Kommentare (20)
Von neu nach altWir bitten um ihr Verständnis.
Wenn du aber eine Biquadratischegleichung der Form (x^4+x^2+c) hast, wendest du ganz einfach die Substitution bzw. Ersetzungs- Technik an.
^= Hoch Zeichen
+/- z^(1/2) = x1; x2