Extremwerte / Hoch- und Tiefpunkte (Thema: Analysis)

Wo hat der Graph seine Hochpunkte?

1. Einleitung


In den meisten Graphen, die man in der Schule bearbeiten muss, gibt es sogenannte "Extremstellen" (auch: Extremwerte, Extrempunkte). Wie der Name bereits andeutet, sind das diejenigen Stellen, an denen der Graph - allgemein ausgedrückt - in irgendeiner Weise besonders ausgeprägt ist. Man unterteilt die Extremstellen in Hochpunkte und Tiefpunkte bzw. Maxima (=Hochpunkte) und Minima (=Tiefpunkte).
Extremstellen sind also sozusagen alle kleinen "Hügel" und "Täler" im Graphen.

Extremstellen

Man unterscheidet weiterhin zwischen "lokalen" Maxima/Minima und "absoluten". Die absoluten gelten für die gesamten Graphen (also z.B. der höchste Punkte im gesamten Graphen), während die lokalen nur für kleine Abschnitte gelten (z.B. zwei kleine Hochpunkte nebeneinander). Die lokalen Maxima/Minima können also mehrmals auftreten, die absoluten jeweils nur ein Mal im gesamten Graphen (im obigen Graphen gibt es ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum).

Graphen müssen allerdings weder Hochpunkte noch Tiefpunkte haben. In der Regel haben die Graphen, die man in der Schule bearbeiten muss, diese aber.


2. Finden von Extremstellen


Extremstellen zu finden funktioniert immer nach dem- selben Schema:
  • Ableitung bilden (also f'(x) von f(x))
  • Ableitung gleich Null setzen und x ausrechnen.
  • f'(x)=0 ist notwendige Bedingung, d.h. sie ist erforderlich um Extremstelle zu bestimmen, aber nicht ausreichend um zu beweisen, dass es eine ist.
Die Extremstellen findet man über die Ableitung, da diese die Steigung des Graphen widerspiegelt. An einem Hochpunkt bzw. Tiefpunkt (also an einer Extremstelle) muss die Steigung logischerweise gleich Null (zumindest an einem einzelnen Punkt). Und da die Steigung gleich Null sein muss, kann man auch die Ableitung gleich Null setzen.

Beispiel:

f(x)=x^3 + 2x^2

f'(x)=3x^2 + 4x

Ableitung f'(x) gleich Null setzen und x bestimmen:

0 = 3x^2+4x
0=x*(3x+4)

x1=0 und x2=-4/3

Um jetzt das ganze komplett zu machen, müsste man diese x-Werte nun noch in f(x) einsetzen, um die zugehörigen y-Werte zu erhalten (sodass man also einen richtigen Punkt im Koordinatensystem erhält).

Die verwendete Funktion f(x) war übrigens die selbe, die auch oben im Bild zu sehen ist.
Wie man leicht erkennen kann, stimmen die errechneten Extremstellen mit denen im Bild überein.


3. Hochpunkt oder Tiefpunkt?


Hat man diese Koordinaten nun errechnet, dann weiß man schon mal wo die Extremstelle ist. Man weiß aber noch nicht, ob die Extremstelle nun ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt ist.
Will man eine Antwort auf diese Frage (Hochpunkt oder Tiefpunkt?) finden, dann kann man eine von zwei Methoden verwenden:
  • Prüfung über Vorzeichenwechsel
  • Überprüfung mit der 2.Ableitung

4. Prüfung über Vorzeichenwechsel


Bei der Prüfung über den Vorzeichenwechsel setzt man in die Ableitung f ' (x) zwei x-Werte ein: Einen knapp vor der Extremstelle und einen knapp danach. Die Theorie ist, dass bei einem Hochpunkt die Steigung davor positiv ist (der Graph steigt zum Extrempunkt hoch) und danach negativ ist (er fällt vom Extremwert herab.
Beim Tiefpunkt sollte es entsprechend umgekehrt sein: Die Steigung sollte erst negativ und dann positiv sein (Graph fällt erst und steigt dann nach dem Tiefpunkt wieder).
Man setzt also einfach zwei x-Werte ein und prüft welches Vorzeichen jeweils das Ergebnis hat. Bei der Wahl der x-Werte sollte man natürlich welche nehmen, die möglichst nah an der Extremstelle sind - und zwar näher, als die nächste andere Extremstelle im Graphen (sofern vorhanden).

Beispiel:

Wir untersuchen eine Extremstelle aus dem Graphen, der bereits oben untersucht wurde.
Gewählt wird die Extremstelle an Position x=0.
Wir setzen zuerst -1 und dann +1 ein (bei -4/3 liegt bereits die nächste Extremstelle, man sollte also auf keinen Fall -2 nehmen).

f(x)=x^3+2x^2

f'(x)=3x^2+4x


f'(-1)=3*(-1)^2+(-4)=-1

f'(1)=3*(1)^2+4=7

Die Steigung ist also zuerst negativ (-1) und dann positiv (+7) - der Graph fällt also erst und steigt dann wieder. Es liegt also ein Tiefpunkt vor.
Schaut man oben im Bild wird man auch erkennen, dass beim x-Wert 0 in der Tat ein Tiefpunkt ist.

Wichtig: Liegt kein Vorzeichenwechsel vor (von + nach + / von - nach -), dann ist der errechnete Punkt keine Extremstelle, sondern ein Wendepunkt oder Sattelpunkt.



5. Prüfung über 2. Ableitung


Man kann auch alternativ über die 2. Ableitung testen. Man prüft also sozusagen die Steigung der Steigung des Graphen an Position x. Das ist schon reichlich schwer sich das vorzustellen - vor allem wenn man noch nicht oft mit Graphen gearbeitet hat. Man sollte es also am besten einfach akzeptieren ;)
Die 2. Ableitung muss ungleich 0 sein, wenn es sich um einen Extrempunkt handelt. Dies ist die hinreichende Bedingung für Extrempunkte, da sie beweist, dass es kein Sattelpunkt ist. Beide Bedingungen zusammen beweisen, dass es ein Extrempunkt ist.
Bei diesem Prüfverfahren muss man nur einen Test machen und zwar setzt man den x-Wert der Extremstelle in die zweite Ableitung ein und rechnet das Ganze aus. Man schaut dann, welcher von insgesamt 3 möglichen Fällen auftritt:
  • Das Vorzeichen des Ergebnisses ist negativ (Ergebnis<0): Extremstelle ist ein Hochpunkt.
  • Das Ergebnis ist gleich Null (Ergebnis=0): Der Punkt ist keine Extremstelle, sondern ein Wendepunkt/Sattelpunkt.
  • Das Vorzeichen des Ergebnisses ist positiv (Ergebnis>0): Extremstelle ist ein Tiefpunkt

Beispiel:

Es wird wieder die bereits bekannte Funktion verwendet. Diesmal wird aber auch noch eine zweite Ableitung benötigt, in die man dann den x-Wert der Extremstelle einsetzt.

f(x)=x^3+2x^2

f'(x)=3x^2+4x

f''(x)=6x+4

Untersucht wird wieder die Extremstelle am x-Wert 0.
Diesmal indem man den x-Wert 0 in die zweite Ableitung einsetzt, ausrechnet und das Ergebnis prüft.

f''(0)=6*0+4=4 4>0 also Tiefpunkt

Das Ergebnis ist also wieder das gleiche wie auch bei der Prüfung über Vorzeichenwechsel.

Kommentare (119)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
Okay, jetzt weiß ich wieso das mit der 2. Ableitung funktioniert. Dank Wikipedia und einem dortigen Link zu einer Seite, die es zwar auch nicht erklärt, aber den richtigen Hinweis gibt, nämlich, dass bei einer Ableitungsfunktion der Graph entweder streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist (bis zu der Extremstelle). Das ist überhaupt nicht schwer vorzustellen - wie es behauptet.
ArnoNuehm (Gast) #
Erklärt hat er im Übrigen nichts. Er hat gezeigt wie man das berechnet, aber das ist keine Erklärung. Warum beispielsweise die zweite Ableitung darüber bestimmt, ob man es mit einem Hoch- oder Tiefpunkt zu tun hat und das wäre ja immerhin essentiell zu wissen, das erfährt hier niemand. Und ich bin kein Idiot oder Gehirnamputierter, ich möchte nicht einfach nur etwas auswendiglernen. Und wenn man sich mit Mathematik beschäftigt, weiß man, dass man auch nicht sofort darauf gekommen ist wie der SAtz des Pythagoras lautet, das hat Jahrhunderte gedauert, aber ich soll das hier alles so nebenbei herausfinden oder wie?
ArnoNuehm (Gast) #
hat mir sehr geholfen dankeschön!!
ArnoNuehm (Gast) #
hat mir sehr weitergeholfen
ArnoNuehm (Gast) #
Sehr gut
ArnoNuehm (Gast) #
Super
ArnoNuehm (Gast) #
Sehr Gut, habe viel mehr verstanden als im Unterricht.
ArnoNuehm (Gast) #
Danke für eine Erklärung auf eine einfache und effiziente Weise mit Beispielen.
ArnoNuehm (Gast) #
Vielen Dank für diese tolle Erklärung! Ich schreibe morgen eine Klausur darüber und habe jetzt zum Glück alles verstanden. :)
ArnoNuehm (Gast) #
checks nicht.
ArnoNuehm (Gast) #
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