Ableitung: Quotientenregel (Thema: Analysis)

Ableiten von Brüchen leicht gemacht

1. Einleitung


Um einen Bruch aus zwei Funktionen abzuleiten benötigt man die Quotientenregel. Beispiele, wo man sie anwenden könnte:
f(x)=(3x)/(x^2+1)

oder auch

f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)


2. Regel


Die Quotientenregel ist folgendermaßen definiert:

f(x)=u(x)/v(x), f'(x)=(u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x))/(v(x)*v(x))

Etwas besser kann man das ganze erkennen, wenn man (x) immer weglässt, also statt "u(x)" einfach "u" schreibt usw.:

f(x)=u/v, f'(x)=(u'v-uv')/(vv)


3. Beispiel 1


Die folgende Funktion soll abgeleitet werde

f(x)=3x/(x^2+1)


u, u', v und v' werden nun herausgesucht bzw. gebildet:

u(x)=3x, u'(x)=3, v(x)=x^2+1, v'(x)=2x


Das wird dann in die Formel eingesetzt:

f'(x)=(u'v-uv')/(vv)

f'(x)=(3(x^2+1)-3x*2x)/((x^2+1)(x^2+1)) = (-3(x^2-1))/(x^4+2x^2+1)


4. Beispiel 2


Die folgende Funktion soll abgeleitet werden

f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)


u, u', v und v' werden gesucht bzw. gebildet:

u(x)=1x+2x+3x, u'(x)=6, v(x)=x^2+x^3+x^4, v'(x)=2x+3x^2+4x^3


Nun das ganze in die Formel einsetzen:

f'(x)=(u'v-uv')/(vv)

f'(x)=(-6x^2(1+2x+3x^3)) / (x^4(1+2x+3x^2+3x^3+x^4)

Kommentare (28)

Von neu nach alt
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Wir bitten um ihr Verständnis.
Leicht gemacht??? Von wegen, das ist einfach furchtbar!
ArnoNuehm (Gast) #
Das reicht wen man den Nenner in Klammern setzt und mit ^2 multiplizierrt!
ArnoNuehm (Gast) #
In Beispiel 2 kann man doch ein x "kürzen". Wäre danach ein Beispiel für die Reziprokregel. Oder?
ArnoNuehm (Gast) #
Du solltest die Regel evtl. noch allgemein beweisen.
ArnoNuehm (Gast) #
iwie viel einfacher als im Unterricht =D



5*
MatheLkler (Gast) #
jo was geht.ich und mein kollege schreiben morgen mathe abi.haben absolut keinen plan von nix!das wird ne katastrophe morgen:D also wenn ihr denkt ihr seit schlecht, es gibt welche die noch weniger können keine angst;)

grüße an alle mathe loser und hasser
mathe versager88 (Gast) #
Einfach super, ganz klar und deutlich erklärt. 5 Sterne
nancy (Gast) #
Gut erklärt, das Problem ist nur ich hab keinen blassen Schimmer wie das in meine Aufgabe einzusetzen ist xD
Blubber (Gast) #
hey hab es auch verstanden super erklärt und wie funktioniert das wenn der nenner x^-3 hat oder so?

wir haben diese Aufgabe bekommen und ich kann mit dem minus nach der ersten ableitung nichts anfangen bei dem x... kann mir da wer helfen? ich verzweifel jetzt seit 3 tagen an der aufgabe und muss das montag haben *heul*



1.f(x)=2x+2*1225/x

zusammen gefasst gibt das

2.f(x)=2x+2450/x

soweit ist mir das dann klar dann kommt aber

f(x)=2x +2450x^-1

Wie wurde das gemacht??

f'(x)= 2x+ 2450/x^2

Dann muss ich die Ableitung in die gleiche Form bringen, aber wie??? Das minus iritiert mich =(



Hilfe =(
planlos (Gast) #
Super Zusammenfassung. Übersichtlich und klar verständlich. Danke!
Jilli (Gast) #
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