Ableitung: Quotientenregel

Ableiten von Brüchen leicht gemacht

Inhalt

1 Ableitung: Quotientenregel
1.1
1.1.1 Einleitung
1.1.2 Regel
1.1.3 Beispiel 1
1.1.4 Beispiel 2
2 weitere Artikel und Kommentare

Einleitung

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Um einen Bruch aus zwei Funktionen abzuleiten benötigt man die Quotientenregel. Beispiele, wo man sie anwenden könnte:

$f(x)=(3x)/(x^2+1)$

oder auch

$f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)$

Regel

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Die Quotientenregel ist folgendermaßen definiert:

$f(x)=u(x)/v(x), f'(x)=(u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x))/(v(x)*v(x))$

Etwas besser kann man das ganze erkennen, wenn man (x) immer weglässt, also statt "u(x)" einfach "u" schreibt usw.:

$f(x)=u/v, f'(x)=(u'v-uv')/(vv)$

Beispiel 1

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Die folgende Funktion soll abgeleitet werde

$f(x)=3x/(x^2+1)$

u, u', v und v' werden nun herausgesucht bzw. gebildet:

$u(x)=3x, u'(x)=3, v(x)=x^2+1, v'(x)=2x$

Das wird dann in die Formel eingesetzt:

$f'(x)=(u'v-uv')/(vv)$

$f'(x)=(3(x^2+1)-3x*2x)/((x^2+1)(x^2+1)) = (-3(x^2-1))/(x^4+2x^2+1)$

Beispiel 2

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Die folgende Funktion soll abgeleitet werden

$f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)$

u, u', v und v' werden gesucht bzw. gebildet:

$u(x)=1x+2x+3x, u'(x)=6, v(x)=x^2+x^3+x^4, v'(x)=2x+3x^2+4x^3$

Nun das ganze in die Formel einsetzen:

$f'(x)=(u'v-uv')/(vv)$

$f'(x)=(-6x^2(1+2x+3x^3)) / (x^4(1+2x+3x^2+3x^3+x^4)$

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Kommentare (21)

planlos (Gast)

vor 3 Monaten

hey hab es auch verstanden super erklärt und wie funktioniert das wenn der nenner x^-3 hat oder so?
wir haben diese Aufgabe bekommen und ich kann mit dem minus nach der ersten ableitung nichts anfangen bei dem x... kann mir da wer helfen? ich verzweifel jetzt seit 3 tagen an der aufgabe und muss das montag haben *heul*

1.f(x)=2x+2*1225/x
zusammen gefasst gibt das
2.f(x)=2x+2450/x
soweit ist mir das dann klar dann kommt aber
f(x)=2x +2450x^-1
Wie wurde das gemacht??
f'(x)= 2x+ 2450/x^2
Dann muss ich die Ableitung in die gleiche Form bringen, aber wie??? Das minus iritiert mich =(

Hilfe =(