Ableitung: Quotientenregel

Ableiten von Brüchen leicht gemacht

Inhaltsverzeichnis

  1. 1. Einleitung
  2. 2. Regel
  3. 3. Beispiel 1
  4. 4. Beispiel 2

1. Einleitung


Um einen Bruch aus zwei Funktionen abzuleiten benötigt man die Quotientenregel. Beispiele, wo man sie anwenden könnte:
f(x)=(3x)/(x^2+1)

oder auch

f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)


2. Regel


Die Quotientenregel ist folgendermaßen definiert:

f(x)=u(x)/v(x), f'(x)=(u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x))/(v(x)*v(x))

Etwas besser kann man das ganze erkennen, wenn man (x) immer weglässt, also statt "u(x)" einfach "u" schreibt usw.:

f(x)=u/v, f'(x)=(u'v-uv')/(vv)


3. Beispiel 1


Die folgende Funktion soll abgeleitet werde

f(x)=3x/(x^2+1)


u, u', v und v' werden nun herausgesucht bzw. gebildet:

u(x)=3x, u'(x)=3, v(x)=x^2+1, v'(x)=2x


Das wird dann in die Formel eingesetzt:

f'(x)=(u'v-uv')/(vv)

f'(x)=(3(x^2+1)-3x*2x)/((x^2+1)(x^2+1)) = (-3(x^2-1))/(x^4+2x^2+1)


4. Beispiel 2


Die folgende Funktion soll abgeleitet werden

f(x)=(1x+2x+3x)/(x^2+x^3+x^4)


u, u', v und v' werden gesucht bzw. gebildet:

u(x)=1x+2x+3x, u'(x)=6, v(x)=x^2+x^3+x^4, v'(x)=2x+3x^2+4x^3


Nun das ganze in die Formel einsetzen:

f'(x)=(u'v-uv')/(vv)

f'(x)=(-6x^2(1+2x+3x^3)) / (x^4(1+2x+3x^2+3x^3+x^4)
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  2. 2. Regel
  3. 3. Beispiel 1
  4. 4. Beispiel 2
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