Normalenform (Thema: Vektorrechnung)

Ebenen darstellen mit Hilfe der Normalenform

1. Einleitung





Die Normalenform wird grundsätzlich anders gebildet als die Parameterform. Wie ihr Name schon andeutet, spielt der Normalenvektor der Ebene eine große Rolle.

Die Theorie für die Normalenform ist folgende: Zeigt man mit einem Ortsvektor auf einen Punkt im Raum, so kann man zu diesem Ortsvektor beliebig viele orthogonale Vektoren finden. Lässt man alle diese Vektoren an dem Punkt starten, auf den der Ortsvektor zeigt, dann liegen all diese Vektoren in einer Ebene - und bilden damit eine.



Um die Normalenform einer Ebene zu bilden braucht man also nur:

  • Einen Normalenvektor
  • Einen Punkt in der Ebene (auf den der Ortsvektor dann zeigt)


Das ist schon alles. Alle anderen Vektoren, die man braucht, um z.B. auf einen bestimmten Punkt in der Ebene zu zeigen, ergeben sich einfach dadurch, dass sie senkrecht (also orthogonal) zum Normalenvektor sind.





Eine Ebene in Normalenform

Bild 1: Eine Ebene in Normalenform. In rot der Richtungsvektor und der gegebene Punkt. Grün (leicht durchsichtig) die Ebene, blau (leicht durchsichtig) ein Teil der Vektoren, die in der Ebene liegen und im rechten Winkel zum Normalenvektor liegen.




2. Darstellung





allgemeine Darstellungsform:


E: ((x)-(OP))*n=0




Wobei hier x jeder beliebige Punkt in der Ebene ist.
p ist ein bereits definierter Punkt in der Ebene und n ist der Normalenvektor der Ebene.

p und n müssen also festgelegt werden, damit die Ebene definiert ist. (Siehe auch die Bedingungen oben: p ist der Punkt in der Ebene, n ist der Normalenvektor der Ebene.)



Es wird hierbei ein Vektor zwischen x und p gebildet, der völlig variabel ist, da x nicht bestimmt wird - x zeigt ja schließlich auf jeden beliebigen Punkt auf der Ebene.

Dieser sich ergebende Vektor (aus x und p) geht vom Punkt p aus und wird mit dem Normalenvektor n der Eben multipliziert. Das Skalarprodukt aus diesem Vektor und n muss 0 ergeben - die beiden Vektoren müssen also orthogonal zueinander liegen (siehe auch Orthogonalität).




Beispiel:



E: ((x)-(1,2,3))*(7,7,7)=0




In diesem Beispiel ist der festgelegte Punkt in der Ebene (1|2|3). x minus dem Ortsvektor zu diesem Punkt ergibt einen variablen Vektor (da x nicht klar definiert ist), der vom Punkt (1|2|3) ausgeht. Dieser variable Vektor wird mit dem Normalenvektor der Ebene n=(7,7,7) multipliziert. Das Skalarprodukt aus diesen beiden Vektoren muss 0 ergeben. Erst dadurch wird der Vektor genügend eingeschränkt, um vom Punkt (1|2|3) aus abzugehen und in der Ebene zu liegen, also senkrecht zum Normalenvektor.

Kommentare (11)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
ja meiner meinung nach eigentlich schon. aber der normalenvektor gibt schließlich ja auch eine richtung an.
ArnoNuehm (Gast) #
"Bild 1: Eine Ebene in Normalenform. In rot der Richtungsvektor und der gegebene Punkt. (...)"



Der Vektor in rot müsste der Normalenvektor sein oder!??
Andy (Gast) #
muss lol zustimmen. der autor hätte das bespiel wenigstens zuende schreiben/rechnen können.
bor (Gast) #
muss lol zustimmen.
bor (Gast) #
versteht jedes kind
Carsten (Gast) #
versteht ja kein mensch
lol (Gast) #
Ist doch egal welchen Punkt du nimmst, hauptsache er liegt in der Ebene.



Da der Ortsvektor (bzw. "Ortspunkt") aber meist der einzige Vektor (Punkt) ist, der dir gegeben ist, nimmt man ihn auch in der Regel.
ArnoNuehm (Gast) #
ist es nicht so, das bei der umwandlung von parameterform in normalenform der ortsvektor als P genommen wird? das kommt hier irgendwie nicht zur geltung!
ABI in 16 stunden (Gast) #
@000

Der rote Vektor soll die Orthogonale darstellen. Die orthogonale ist ja immer die Senkrechte zu einer anderen Geraden oder Ebene (in dem Beispiel die Ebene). Diese Orthogonale zeigt deswegen in die entgegengesetzte Richtung, weil sie ja senkrecht von der Ebene ausgeht.

So würde ich mir das jetzt erklären. Ich hoffe es hilft die weiter.
Scouty (Gast) #
irgendwie komme ich mit der formel durcheinander... in der schule haben wir nämlich gelernt, dass die normalenform mit folgender formel belegt ist: vektor n * vektor a = vektor n * vektor x!
LiZ (Gast) #
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