Parameterform (Thema: Vektorrechnung)

Ebenen darstellen mit Hilfe der Parameterform

1. Einleitung





Die Parameterform ist am ehesten vergleichbar mit der Darstellung von Geraden.
Eine typische Gerade:


g: x=(1,2,3)+lambda*(5,5,5)



Bei dieser Darstellung zeigt der Stützvektor auf einen bestimmten Punkt im Raum, hier auf (1|2|3). Von dort aus geht der Richtungsvektor ab. Dieser kann durch die Variable lambda (lambda) beliebig in seiner Länge verändert werden. Dadurch kann jeder Punkt auf der Geraden bestimmt werden. Man hat also in gewisser Weise ein Koordinatensystem im Raum, bei dem der Stützvektor auf den Ursprung zeigt und von dem der Richtungsvektor abgeht - als einzige Achse des Koordinatensystems.

Das einzige was sich bei der Ebenendarstellung ändert ist, dass sozusagen eine zweite Achse dazukommt. Ist ja auch logisch, denn eine Ebene ist ja eine Fläche, nicht eine Gerade und um eine Fläche zu bestimmen, braucht man nunmal zwei Achsen. Zeichnet man ein zweidimensionales Koordinatensystem auf ein Blatt Papier, dann kann man jeden Punkt auf diesem Blatt bestimmen - man muss nur die entsprechenden x und y-Werte haben.




Eine Ebene in Parameterform

Bild 1: Eine Ebene in Parameterform. Die beiden Richtungsvektoren sind blau, der Stützvektor ist rot (verdeckt von Ebene). Die Ebene selbst ist grün und leicht durchsichtig.





Ein Punkt in der ersten Ebene

Bild 2: Beispiel wie man zu einem Punkt in der Ebene kommt. Erst den Stützvektor folgen, dann lambda mal der erste Richtungsvektor, dann mu mal der zweite Richtungsvektor.





Ein zweiter Punkt in der ersten Ebene

Bild 3: Je nachdem wie man die Variablen für die Richtungsvektoren setzt kann man auf jeden Punkt in der Ebene zeigen. Man kann natürlich auch Minuszahlen einsetzen, sodass die Vektoren in die entgegengesetzte Richtung zeigen.





Eine zweite Ebene in Parameterform

Bild 4: Eine zweite Beispielebene in Parameterform: Die Richtungsvektoren müssen nicht zwangsweise im 90°-Winkel liegen! Sie dürfen nur nicht linear abhängig voneinander sein. Denn dann würden sie in die selbe Richtung zeigen (oder in die genau entgegengesetzte) und keine Ebene, sondern eine Gerade bilden! (siehe auch Anmerkungen)





2. Darstellung





Um eine zweite "Achse" zu haben brauchen wir erstmal eine zweite Variable. Dafür nehmen wir mu (ausgesprochen: "Müh"). Außerdem wird ein zweiter Richtungsvektor benötigt.



allgemeine Darstellungsform:


E: x=(s_1,s_2,s_3)+lambda*(r_{11},r_{12},r_{13})+mu*(r_{21},r_{22},r_{23})



Hierbei ist x der Ortsvektor zu jeden beliebigen Punkt in der Ebene. Gewöhnlich wird dieser Vektor nur x geschrieben, man kann aber auch (x_1,x_2,x_3) schreiben. Dieser Vektor wird gewöhnlich variabel gehalten (das heißt, dass man die x stehen lässt). Damit zeigt man, dass jeder Punkt, der durch den Teil der Gleichung hinter dem Gleichzeichen definiert wird, in dieser Ebene liegt. Nur dann wenn man überprüft, ob ein Punkt in der Ebene liegt, dann setzt man für x den Vektor zu diesem Punkt ein. (Dann ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das rechnet man aus und wenn man für die Variablen reelle Zahlen als Ergebnis erhält, dann liegt der Punkt in der Ebene).

Soviel zu x. s ist hier wieder der Stützvektor, der sozusagen den Ursprung festlegt. r_1 und r_2 sind die beiden Richtungsvektoren, deren Länge verändert wird, um so jeden Punkt in der Ebene darstellen zu können.




Beispiel:


E: x=(1,2,3)+lambda*(5,5,5)+mu*(7,6,5)



Hier kann man dann z.B. sehen, dass das x variabel gehalten ist. Es ist jeder Punkt in der Ebene gemeint, der sich durch die nachstehenden Vektoren und durch das einsetzen von Zahlen in die Variablen bilden lässt. Diese unendlich große Menge an Punkten ergibt eine Ebene!




3. Anmerkungen





  • Der erste und der zweite Richtungsvektor dürfen nicht linear abhängig sein, sonst hat man nur eine Geradengleichung mit zwei Variablen - und kann wieder nur Punkte auf der Geraden darstellen. Es ist so, als wollte man ein zweidimensionales Koordinatensystem aufbauen, indem man zwei mal die x-Achse verwendet. Da kann man natürlich auf keinen Punkt zeigen, der einen y-Wert ungleich 0 hat.





4. Links





Kommentare (26)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
Tolle Gliederung, tolle verständliche Darstellung
Stefan (Gast) #
Ich bin einfach nur begeistert von dieser Seite. Mathematisch bin ich wahrlich eine Niete, aber diese Erklärungen sind einfach so gut zu verstehen das Ich beginne richtig Freude an Mathe zu verspüren. Tausend Dank !
Arno (Gast) #
Hammer!
Michael (Gast) #
Eigentlich traurig, das zu sagen aber mein unverständllicher Lehrer wird durch diese tolle Seite ersetzt! Vielen Dank und ein grosses Lob!
Viviane (Gast) #
auch von mir das höchst mögliche lob an den ersteller des seiteninhaltes!!! habe bis jetzt zwar nur lineare algebra und analytische gemoetrie gebraucht aber das ist weitaus verständlicher und detailierter erklärt als in meinem studium. ich bedanke mich viel viel mals für die hilfreiche erklärungen und wünsche ihnen alles gute!
Aris (Gast) #
Man man man... hätte ich mal früher gewusst dass es diese seite gibt...dann hätte ich mir nicht so ein stress gemacht...aber da ich übermorgen vorabi klausur schreibe...mach ich mir nur zeitlich stresssss :/

TOP :D 5/5
Ali (Gast) #
Ich habe auch übermorgen Mathe mündlich und ich muss sagen, die Seite ersetzt die Arbeit meiner bisherigen Mathelehrer komplett! Sehr gut nachvollziehbare Struktur und mir wird nach 3 Jahren Mathe in der Oberstufe einiges klarer ;)

Danke für die Mühe: 5/5
Budi (Gast) #
ich liebe diese seite, im unterricht versteh ich gar nichts und hier is alles wunderbar erklärt :)
ArnoNuehm (Gast) #
auch für Mathe-nicht-ganz-Unbegabte ist diese Seite super. man kann einfach wunderbar auf der Grundlage dessen hier eine Zusammenfassung schreiben, und sich so das zweifellos wochenlange wälzen diverser Mathebücher sparen.

übermorgen Mathe mündlich - welch Heidenspaß ;-)
ArnoNuehmphe (Gast) #
Diese Seite ist einfach klasse, keine Frage.



Aber meistens kommt es auch nur auf die Einstellung der Schüler an. Im Internet liest man so eine Seite gleich viel intensiver und nicht mit so einer 0 Bock Einstellung.



In meinem Mathe Buch haben meistens einfach nur die Zwischenschritte gefehlt, damit man erkennt, was mit den Zahlen angestellt wurde.



Aber ein echtes Kompliment an den Autor!! Mal sehn, was die mündliche Abiprüfung morgen bringt *g*
ArnoNuehm (Gast) #
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