Abstand Gerade von Gerade (Thema: Vektorrechnung)

Wie man den Abstand zweier Geraden errechnet

1. Einleitung



Der Abstand zweier Geraden voneinander wird definiert durch den kürzesten Abstand zwischen beiden. Man sucht also die beiden Punkte auf einer Geraden, die so nah wie möglich zueinander liegen. Sozusagen wie die Luftlinie zwischen zwei Städten.
Es gibt aber leider keine Formel, die man immer anwenden kann, um den Abstand zweier Geraden zu ermitteln. Stattdessen gibt es insgesamt drei verschiedene Vorgehensweisen. Wie man rechnen muss, bestimmt sich durch die Lage der beiden Geraden zueinander:

  • Die Geraden schneiden sich:
    Hier kann man sich ordentlich freuen, denn die beiden am nächsten zueinander liegenden Punkte auf den beiden Geraden liegen logischerweise genau im Schnittpunkt. Damit ist der Abstand entsprechend 0.
  • Die Geraden liegen parallel zueinander:
    Hier gibt es nicht zwei eindeutig bestimmbare Punkte, die am nächsten zueinander liegen, sondern unendlich viele. Das macht die ganze Sache glücklicherweise aber nicht viel schwerer, denn es gibt immer einen kürzesten Abstand, auch wenn der hier an mehreren Stellen gilt. Um den bei parallelen Geraden zu bestimmen sucht man sich einfach einen Punkt, der auf einer der Geraden liegt und bestimmt den Abstand dieses Punktes von der anderen Geraden.
  • Die Geraden liegen windschief zueinander:
    Das ist der wohl schwerste Fall. Grob gesagt bildet man aus den Richtungsvektoren beider Geraden eine Ebene, die in einer der beiden Geraden liegt. Dann errechnet man den Abstand der anderen Geraden zu dieser Ebene. Das Ergebnis ist der kürzeste Abstand zwischen beiden Geraden.




2. Geraden schneiden sich



Wie schon oben gesagt, bedarf das keiner speziellen Rechnung und der Abstand ist immer Null. Um herauszufinden ob sich beide Geraden schneiden setzt man sie einfach wie üblich gleich.


3. Geraden liegen parallel



Liegen zwei Geraden parallel zueinander, so kann man den Abstand ausrechnen, indem man sich auf der einen Geraden einen Punkt nimmt und den Abstand von diesem Punkt zur anderen Geraden ausrechnet. Traditionell bietet es sich dafür an, den Stützvektor einer der beiden Geraden zu nehmen. Der Rest ist Abstandsberechnung zwischen Punkt und Gerade.


4. Geraden liegen windschief zueinander



Der schwierigste Fall in der Abstandsberechnung zwischen zwei Geraden. Um den Abstand hier zu erhalte, bildet man zunächst eine Hilfsebene. Als Richtungsvektoren der Hilfsebene verwendet man die Richtungsvektoren der beiden Geraden. Als Stützvektor nimmt man den Stützvektor einer der beiden Geraden. Dadurch erhält man eine Ebene, in der eine der beide Geraden liegt (die, deren Stützvektor verwendet wurde). Die andere Gerade schneidet die Ebene aber nicht, sondern läuft parallel zu dieser (ihr Richtungsvektor kommt ja auch in der Ebene vor). Den Abstand der beiden Geraden kann man dann berechnen, indem man den Abstand der Ebene zu der Geraden, die nicht in der Ebene liegt, bestimmt. Also in Kurzform:

  • Zwei windschiefe Geraden gegeben (z.B. g und h)
  • Hilfsebene bilden: Als Richtungsvektoren die Richtungsvektoren der Geraden. Als Stützvektor der Stützvektor einer Geraden (z.B. g).
  • Eine Gerade liegt dann in der Hilfsebene (hier: g), eine liegt parallel zu dieser (hier: h).
  • Abstand der parallelen Geraden zur Ebene bestimmen (also hier: Abstand h zu Hilfsebene)



Beispiel:





Aus Gerade g und Gerade h wird die Hilfsebene gebildet.
Dazu verwendet man den Stützvektor von g und die Richtungsvektoren von g und h:



Um den Abstand eines Punktes, der auf Gerade h liegt, von diese Ebene zu bestimmen brauchen wir die Hessesche Normalenform (HNF) der Ebene. Um die zu erhalten müssen wir aber erst die Koordinatenform errechnen, für die wir wiederum einen Normalenvektor der Ebene brauchen. Der Normalenvektor wird mit Hilfe des Vektorprodukts aus den beiden Richtungsvektoren gebildet:



Die Länge des Normalenvektors brauchen wir später für die HNF:



Nun wird die Normalenform der Ebene gebildet, die wir dann einfach zur Koordinatenform umrechnen können:



Das ganze ausmultiplizieren (mit Skalarprodukt) und man erhält die Koordinatenform:



Koordinatenform geteilt durch den Betrag vom Normalenvektor ergibt die HNF:

Formel-Code: 
HNF:\hspace6 
\left|
\frac
{22x_1 + 2x_2 + 37x_3 - 81}
{\sqrt{1857}}
\right|
= d

In die HNF muss man nun nur noch einen Punkt, der auf der Gerade h liegt, einsetzen. Dafür bietet sich deren Stützvektor an, denn der muss zwangsweise auf der Geraden liegen:

Formel-Code: 
d = 
\left|
\frac
{-22 - 8 + 37 - 81}
{\sqrt{1857}}
\right|
=
\frac
{74}
{\sqrt{1857}}
\approx
1,7122

Ausgerechnet erhält man einen Abstand von ungefähr 1,71 Längeneinheiten. Das ist der Abstand von den beiden Punkten auf den Geraden, die zueinander am nächsten liegen.

Kommentare (83)

Von neu nach alt
Jetzt kann das Matheabi nur kommen! -ich bin bereit dank dieser Seite
ArnoNuehm (Gast) #
wow, genau das brauchte ich... übersichtlich, prägnant und leicht verständlich. vielen dank
nobody (Gast) #
Mensch, endlich mal alles kurz und knapp auf den Punkt gebracht
Super Seite! Ich werds weiter empfehlen
ArnoNuehm (Gast) #
coole Seite^^
ArnoNuehm (Gast) #
Und wie bekomme ich bei den windschiefen Geraden dann die Punkte durch die der kürzeste Abstand geht?
ArnoNuehm (Gast) #
Ich schreibe morgen Mathe LK Abi und hab zum ersten Mal verstanden warum das Simm macht, vielen Dank :D
ArnoNuehm (Gast) #
Du beachtest bei dem Betrag einfach das Vorzeichen nicht. Das Endergebnis ist also stets positiv.
ArnoNuehm (Gast) #
wie berechne ich den den betrag von -22-8+37-81/√1857 ?? wenn ich das ohne den betrag rechne, also einfach nur -22-8+37-81/√1857 bekomme ich als ergebnis -1.7172 ??
ArnoNuehm (Gast) #
kann man aber nicht den abstand windschiefer geraden auch mit der Hessesche Normalenform errechnen? also der normaleneinheitsvektor ergibt sich aus den beiden richtungsvektoren (kreuzprodukt) und dann setzt man nur noch die beiden stützvektoren der geraden ein. oder habe ich das nur überlesen xD?
ArnoNuehm (Gast) #
Tag. Wie kann man eine Gerade Parallelverschieben und zwar mit einem bestimmten Abstand, unabhängig von der jeweiligen Steigung?
ArnoNuehm (Gast) #