Abstand Punkt von Ebene / Ebene von Punkt (Thema: Vektorrechnung)

Wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmt

1. Einleitung





Den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu errechnen geht schnell.
Alles was man dafür machen muss ist nur, die Hessesche Normalenform der Ebene zu bilden und dann den Punkt darein einzusetzen.




2. Formel





Allgemein:



Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene (in Koordinatenform).

Aus der Ebenengleichung kann man den Normalenvektor n entnehmen.

Da die Länge vom Normalenvektor ohnehin für die Hessesche Normalenform benötigt wird, wird sie gleich mitausgerechnet.



P (P_1|P_2|...|P_m)


E: n_1x_1+n_2x_2+...+n_mx_m=y


n=(n_1,n_2,...,n_m)


HNF: (n_1x_1+n_2x_2+...+n_mx_m-y)/(wurzel(n_1*n_1+n_2*n_2+...n_m*n_m))



In diese Gleichung muss man nun den Ortsvektor zum Punkt P einsetzen (für die x1, x2 usw.).

Das Ergebnis ist der Abstand des Punktes P von der Ebene.





Beispiel:




Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene in Koordinatenform.

Aus der Ebene kann man den Normalenvektor entnehmen und es wird direkt die Länge von dem errechnet.



P (100|200|300)


E: 3x_1+4x_2+5x_3=1


n=(3,4,5) |n|=wurzel(3*3+4*4+5*5)=wurzel(50)


Aus dem ganzen Kram bildet man nun die Hessesche Normalenform der Ebene (HNF):


HNF: (3x_1+4x_2+5x_3-1)/(wurzel(50))


Ortsvektor zu P in die HNF eingesetzt, ausgerechnet, fertig.


Formel-Code: 
d=\hspace6
\frac
{300+800+1500-1}
{\sqrt{50}}
\hspace5=\hspace5
\frac
{2599}
{\sqrt{50}}
\hspace5\approx\hspace5
367,554


Der Abstand zwischen Ebene und Punkt beträgt ungefähr 367,554 Längeneinheiten.





3. Anmerkungen





  • Wenn der Abstand zwischen Ebene und Punkt 0 ist, dann liegt der Punkt logischerweise in der Ebene.
  • Wenn die Ebene nicht in Koordinatenform gegeben ist, dann muss man die Gleichung der Ebene in diese Form umrechnen.

Kommentare (56)

Von neu nach alt
lutsch mein sack ;)
florian (Gast) #
gute erklärung von diese scheise
peterpam (Gast) #
fdsfsdf
ArnoNuehmvdsdf (Gast) #
Auch hier sehr schön erklärt. Aber es fehlt zuletzt noch der Hinweis, dass man nach dem Einsetzen des Punktes den Betrag berechnen muss (ist für viele, die diese Anleitung brauchen, nicht selbstverständlich, das kann zu Unsicherheiten führen, siehe z.B. unten).
Vovo (Gast) #
danke, danke, danke! :)
ArnoNuehm (Gast) #
Wirklich tolle Seite - besser als mein Mathebuch.
Großes Lob an den Autor.
AinerVonFielen (Gast) #
Respekt ! Eine wirklich gut super seite :) da kann mein mathebuch nicht mithalten ;)
kate (Gast) #
What the fuck^^ Und morgen ist Klausur..
Zu (Gast) #
hi,

also wir haben das bei uns in der schule (nrw) mit einem "einheitsnormalenvektor" beechnet.

vielleicht lönnte man diese variante ebenfalls aufnehmen
gast (Gast) #
Wie siehts denn aus, wenn die Aufgabe heißt: Finde heraus ob der Punkt Diesseits oder Jenseits liegt (zB. der Punkt liegt zwischen Urpsrung und Ebene, oder die Ebene liegt zwischen Punkt und Ursprung, oder noch besser: Der Ursprung liegt zwischen Eben und Punkt? Und nun soll der Abstand erechnet werden..

??
Abi 2011 (Gast) #