Abstand Punkt von Ebene / Ebene von Punkt

Wie man den Abstand eines Punktes von einer Ebene bestimmt

Inhaltsverzeichnis

  1. 1. Einleitung
  2. 2. Formel
  3. 3. Anmerkungen

1. Einleitung





Den Abstand eines Punktes von einer Ebene zu errechnen geht schnell.
Alles was man dafür machen muss ist nur, die Hessesche Normalenform der Ebene zu bilden und dann den Punkt darein einzusetzen.




2. Formel





Allgemein:



Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene (in Koordinatenform).

Aus der Ebenengleichung kann man den Normalenvektor n entnehmen.

Da die Länge vom Normalenvektor ohnehin für die Hessesche Normalenform benötigt wird, wird sie gleich mitausgerechnet.



P (P_1|P_2|...|P_m)


E: n_1x_1+n_2x_2+...+n_mx_m=y


n=(n_1,n_2,...,n_m)


HNF: (n_1x_1+n_2x_2+...+n_mx_m-y)/(wurzel(n_1*n_1+n_2*n_2+...n_m*n_m))



In diese Gleichung muss man nun den Ortsvektor zum Punkt P einsetzen (für die x1, x2 usw.).

Das Ergebnis ist der Abstand des Punktes P von der Ebene.





Beispiel:




Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene in Koordinatenform.

Aus der Ebene kann man den Normalenvektor entnehmen und es wird direkt die Länge von dem errechnet.



P (100|200|300)


E: 3x_1+4x_2+5x_3=1


n=(3,4,5) |n|=wurzel(3*3+4*4+5*5)=wurzel(50)


Aus dem ganzen Kram bildet man nun die Hessesche Normalenform der Ebene (HNF):


HNF: (3x_1+4x_2+5x_3-1)/(wurzel(50))


Ortsvektor zu P in die HNF eingesetzt, ausgerechnet, fertig.


Formel-Code: d=\hspace6 \frac {300+800+1500-1} {\sqrt{50}} \hspace5=\hspace5 \frac {2599} {\sqrt{50}} \hspace5\approx\hspace5 367,554


Der Abstand zwischen Ebene und Punkt beträgt ungefähr 367,554 Längeneinheiten.





3. Anmerkungen





  • Wenn der Abstand zwischen Ebene und Punkt 0 ist, dann liegt der Punkt logischerweise in der Ebene.
  • Wenn die Ebene nicht in Koordinatenform gegeben ist, dann muss man die Gleichung der Ebene in diese Form umrechnen.
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  2. 2. Formel
  3. 3. Anmerkungen
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