Liegt ein Punkt auf einer Geraden?

Wie man durch Gleichsetzung bestimmt, ob ein Punkt auf einer vektoriellen Geraden liegt

Inhaltsverzeichnis

  1. 1. Einleitung
  2. 2. Formel

1. Einleitung





Im Artikel zur Darstellung wurde bereits die allgemeine Formel einer vektoriellen Geraden beschrieben:


g: vektor x=vektor s+lambda*vektor r


Bei dieser Formel steht vektor x für einen Vektor, der auf jeden beliebigen Punkt auf der Geraden zeigt - je nachdem was man im rechten Teil der Gleichung für lambda einsetzt. Will man nun herausfinden, ob ein Punkt auf einer bestimmten Geraden liegt, so bietet es sich an, diesen Punkt einfach für vektor x einzusetzen. Kann man dann ein lambda finden, durch welches sich genau dieser Punkt ergibt, so liegt er auf der Geraden. Erhält man ein widersprüchliches Ergebnis, so liegt er nicht auf der Geraden.




2. Formel





Allgemein:

P (P1|P2|P3), OP=(P1_P2_P3)

g: vektor x=vektor s + lambda*vektor r


(P1_P2_P3)=vektor s + lambda*vektor r


I: P1=s1 + lambda*r1 == (P1-s1)/r1 = lambda, II: P2=s2 + lambda*r2 == (P2-s2)/r2 = lambda, III: P3=s3 + lambda*r3 == (P3-s3)/r3 = lambda



In dieser allgemeinen Formel müssen alle drei lambda den gleichen Wert ergeben - dann liegt der Punkt auf der Geraden. Weicht auch nur ein Lambda ab, so kann der Punkt nicht von der Geraden dargestellt werden und liegt somit nicht auf dieser - oder man hat sich verrechnet.



Beispiel:

P (11|14|17), Vektor OP=(11_14_17)


g: vektor x=(1_2_3) + lambda*(5_6_7)


(11_14_17)=(1_2_3) + lambda*(5_6_7)


I: 11=1+lambda*5 == lambda=2, II: 14=2+lambda*6 == lambda=2, III: 17=3+lambda*7 == lambda=2


In diesem Beispiel liegt der Punkt P also auf der Geraden. Er ergibt sich, wenn man für lambda 2 einsetzt.
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  1. 1. Einleitung
  2. 2. Formel
Lineare Algebra und analytische Geometrie
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