Vektoren (Thema: Vektorrechnung)

Grundsätzliches zu Vektoren

Jeder Vektor enthält zwei wichtige Informationen:

  • Seine Länge (in Bezug auf Vektoren gewöhnlich als Betrag bezeichnet)
  • Eine Richtung




Vektoren werden z.B. in der Physik verwendet, um Zugkräfte darzustellen.
Dabei stellt der Vektor die Richtung dar, in die man zieht (=Richtung des Vektors) und die Kraft, die man dafür aufwendet (=Länge des Vektors).
Auch Bewegungen können durch Vektoren dargestellt werden.
In diesem Fall entspräche dann die Vektorrichtung der Bewegungsrichtung und die Vektorlänge der Bewegungsgeschwindigkeit.

Grundsätzlich eignen sich Vektoren für die Darstellung aller Arten von gerichteten Größen.



Einige Beispielvektoren im zweidimensionalen Raum:

Einige Beispielvektoren




Achtung: Ein Vektor kann zwar aus Anfangs- und Endpunkt gebildet werden, enthält aber immer nur die beiden Basisinformationen Richtung und Länge.
Man kann also prinzipiell nicht von "dem einen Vektor" sprechen, da man einen Vektorpfeil, über den nur seine Richtung und seine Länge bekannt sind, ja überall im Raum platzieren kann.
Ein Verbindungsvektor, den man aus einem Anfangspunkt A und einem Endpunkt B errechnet, ergibt also durchaus einen Vektor der unter anderem Punkt A und B durch seine Richtung und seine Länge verbindet.
Dieser Vektor könnte sich aber auch an jeder anderen Position im Raum befinden.

Ein Vektor wird daher auch als "Äquivalenzklasse" bezeichnet.
Man kann nie "den einen" Vektor errechnen, sondern nur eine Klasse.
Innerhalb dieser Klasse gibt es unendlich viele Vektoren, die alle gleich lang sind und in die selbe Richtung zeigen, sich aber an anderen Positionen im Raum befinden.

Diese Tatsache ist nicht nur wichtig, um Pluspunkte beim Mathelehrer zu erhalten, sondern auch später, wenn man Beweise anhand von Vektoren herleiten will (oder muss).

Koordinatensystem mit mehreren Vektoren, die alle (1_1) sind.

Koordinatensystem mit einem Quadrat aus Vektoren





1. Mathematische Schreibweise von Vektoren




Allgemeine Schreibweise:
Allgemeine Schreibweise von Vektoren



Beispiel:
Vektor im R2 (1-0)

Koordinatensystem im R2 mit Vektor (1-1)



Vektoren werden in Klammern geschrieben mit den einzelnen Koordinatenangaben untereinander und ohne Trennzeichen.
Als Bezeichnung für einen Vektor verwendet man z.B. Vektor a, Vektor b, Vektor c, etc., oder auch Vektor AB, Vektor QP, etc. wenn er zwei Punkte verbindet.

Der Vektor Vektor (1_2) würde z.B. bedeuten: Gehe +1 auf der x1-Achse (im R2 gewöhnlich x-Achse), gehe dann +2 auf der x2-Achse (im R2 gewöhnlich y-Achse).

Wie hier auch zu erkennen ist, vewendet man ab der Vektorrechnung als Namen für die Achsen häufig nur noch x1,x2,x3-Achsen, statt der bis dahin üblichen x,y,z (oder auch u,v,w).
Dies wird insbesondere dann hilfreich, wenn man mit Vektoren, die mehr als drei Dimensionen haben, rechnet.





2. Der Gegenvektor




Der Gegenvektor zu Vektor a ist derjenige Vektor, der zwar die selbe Länge hat, aber in die genau umgekehrte Richtung zeigt.
Dementsprechend ist Minus Vektor a der Gegenvektor zu Vektor a (nach obigen Beispiel ist es nun "Gehe -1 auf der x1-Achse, gehe dann -2 auf der x2-Achse").

Den Gegenvektor kann man also schnell bilden indem man ein Minus vor den Vektor setzt.

Bei Vektoren, die zwei Punkte verbinden, kann man auch die beiden Punkte in der Bezeichnung vertauschen:

Auch der Vektor Vektor BA ist der Gegenvektor zu Vektor AB.




3. Der Ortsvektor




Der Ortsvektor zu einem Punkt A ist derjenige Vektor, der Ursprung und Punkt A miteinander verbindet, also einfach Vektor 0A.

Dementsprechend ist der Ortsvektor zu B Vektor 0B und der Ortsvektor zum Punkt P Vektor 0P.




4. Der Nullvektor




Der Nullvektor hat die Länge Null.
Einen derartigen Vektor kann man nur dann erhalten, wenn man den Vektor zwischen zwei Punkten berechnet, die identisch sind.

Z.B. hat der Vektor Vektor AA die Länge Null.




5. Der Einheitsvektor




Einheitsvektoren sind diejenigen Vektoren, die die Länge 1 haben.

Vektor (1_0) wäre z.B. ein Einheitsvektor.
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Kommentare (5)

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Wir bitten um ihr Verständnis.
Ansonsten aber kaum besser zu erklären. Richtig klasse
ArnoNuehm (Gast) #
Jo, stimmt der erste Vektor ganz oben ist falsch. Der eingezeichnete hat (1/1) NICHT (1/0)!!!!!!!

Könnte der Betreiber ja mal ändern nach 2 Jahren
Gtimaster (Gast) #
bernd hat Recht. (1/1) hat nicht die Länge 0. Die Länge ||a|| wird Wurzel aus x1² + x2² berechnet, also wäre das Wurzel von 2 für den Vektor (1/1). Und das ist nicht 0.
Dargestellt in dem Diagramm ist der Ortsvektor für den Punkt (1,1) und wie man in der Def. für Ortsvektoren oben sehen kann, wäre das (1/1).
ArnoNuehm (Gast) #
@ bernd : natürlich stimmt das überein, (1|1) ist nur ein punktvektor der länge 0, wobei (1|0) genau den nebenstehenden vektor beschreibt. du verwechselst sicher vektoren mit punkten.
ArnoNuehm (Gast) #
Mathematische Schreibweise von Vektoren

Beispiel: a=(1/0) stimmt mit dem nebenstehenden Diagramm (1/1) nicht überein.

Ansonst sehr gut erklärt.
bernd (Gast) #
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